Aljabar Linear - Preview

Aljabar linear ... sepertinya istilah itu sudah pernah saya dengar. Istilah yang sangat sering kita dengar di jenjang SMA. Yap, istilah ini sangat erat hubungannya dengan pelajaran matematika ...

Oke, secara singkat, aljabar linear merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Sudah tidak asing lagi kan dengan istilah - istilah tersebut?

Di SMA kita sudah sempat mempelajari dasar - dasar materi tersebut secara singkat. Tapi apa bedanya sama materi kita di SMA?? Di jurusan Teknik Informatika ini, kita juga akan diajarkan aplikasinya dalam programming. Lalu bagaimana aplikasi Aljabar Linear dalam pemrograman? Dalam pemrograman, kita akan sering berjumpa dengan fungsi-fungsi, terutama fungsi linear. Aljabar Linear juga melatih kita untuk berpikir sistematis sehingga menunjang kemampuan pemrograman kita. Maka dari itu dibutuhkan pengetahuan mengenai Aljabar Linear.


Elementary Matrix

Karena kita semua sudah mendapat perkenalan Matrix dan Persamaan Linear di SMA, maka saya tidak akan membahas kedua materi dasar itu. Saya akan langsung membahas suatu materi yang saya temukan di wikipedia ketika sedang mempelajari Eliminasi Gauss (akan dibahas dibawah). Judulnya di wikipedia sih "Elementary Matrix", gtw ntar waktu diajar dosen namanya pake apa :3. Saya anggap saja nama bahasa indonesianya adalah "Matriks Elementer".

Oke, jadi Matriks Elementer merupakan basis dari operasi matrix yang bernama Elementary Row Operation (ERO) dan Elementary Column Operation (ECO). Secara singkat, Matriks Elementer ini merupakan matrix yang dikalikan dengan sebuah matrix lain untuk melakukan ERO/ECO pada matrix lain tersebut. Matriks Elementer ketika dikalikan, ditaruh di posisi depan ([Elementary Matrix] x [Matrix Lain]) untuk melakukan ERO dan ditaruh di posisi belakang ([Matrix Lain] x [Elementary Matrix]) untuk melakukan ECO.

Bentuk umum Matriks Elementer sangat mirip dengan Identity Matrix atau Matrix Identitas. Perbedaannya hanya pada salah satu elemen matrix. Letak perbedaan antara Matriks Elementer dan Matriks Identitas tergantung pada jenis operasi yang akan dilakukan.

Elementary Column Operation (ECO)

ECO digunakan untuk mengubah kernel (himpunan penyelesaian) dari suatu matrix tanpa mengubah bentuk matrix tersebut. Karena materi ini tidak akan dibahas dalam mata kuliah Aljabar Linear, maka materi tersebut tidak perlu dibahas.

Elementary Row Operation (ERO)

ERO merupakan kebalikan dari ECO. Operasi tersebut digunakan untuk mengubah bentuk suatu matrix tanpa mengubah kernelnya. ERO dibagi menjadi 3 jenis :

Row Switching

Row Switching adalah pertukaran baris. Matriks elementer untuk operasi tersebut secara umum berbentuk seperti gambar disamping namun letak perbedaannya menyesuaikan dengan baris mana yang akan ditukar.

Row Multiplication

Row Multiplication adalah perkalian baris dengan suatu konstanta. Matriks elementer untuk operasi tersebut secara umum berbentuk seperti gambar disamping dengan letak elemen "m" menggantikan salah satu nilai "1" pada matriks identitas sesuai besar konstanta dan baris yang akan dikalikan.



Row Addition

Row Addition adalah penambahan suatu baris dengan kelipatan baris lain. Matriks elementer untuk operasi tersebut secara umum berbentuk seperti gambar disamping dengan besar elemen "m" sesuai kelipatan baris lain yang akan kita tambahkan dan letak elemen "m" menyesuaikan baris mana yang akan ditambahkan dengan ketentuan tidak menggantikan salah satu elemen "1" pada matriks identitas.


Eliminasi Gauss

Suatu hari teman-teman saya ribut membahas materi ini di facebook dan saya menjadi tertantang untuk mempelajarinya. Setelah menelusuri google, akhirnya saya mengerti juga metode eliminasi ini. Ternyata mudah dan simple namun efektif. Yap, inilah Eliminasi Gauss, salah satu materi awal dalam mata kuliah Aljabar Linear.

Eliminasi Gauss digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan bantuan matrix. Karena menggunakan bantuan matrix, maka pertama-tama, sistem persamaan linearnya harus kita ubah ke bentuk matrix terlebih dahulu.

Misal ada 3 persamaan x y z

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

Maka kita ubah dengan format

[x₁ x₂ x₃ hasil]

[x₁ x₂ x₃ hasil]

[x₁ x₂ x₃ hasil]

Menjadi

[3   4  -2   5]

[1  -5   2   7]

[2   1  -3   9]

Secara umum, eliminasi gauss terdiri dari dua tahap :

Forward Elimination (Eliminasi Langsung)

Dalam tahap ini, tujuannya adalah untuk menyederhanakan suatu matrix menjadi bentuk eselon baris. Apa itu bentuk eselon baris? Bentuk eselon baris (juga disebut bentuk segitiga) adalah suatu bentuk matrix yang memenuhi beberapa syarat, yaitu :

• Di setiap baris, angka pertama selain 0, harus 1 (leading 1).
• Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
• Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
• Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Untuk mengubah suatu matrix menjadi bentuk eselon, digunakan Elementary Row Operations karena ERO mengubah bentuk suatu matrix tanpa mengubah himpunan penyelesaiannya.

Back Subtitution (Substitusi Balik)

Tahap ini sama dengan tahap "substitusi" dalam penyelesaian sistem persamaan linear biasa namun menggunakan persamaan-persamaan hasil penyederhanaan matrix menjadi bentuk eselon baris. Setelah matrix selesai kita sederhanakan menjadi bentuk eselon baris, maka  kita akan mendapatkan persamaan linear baru sesuai jumlah baris matrix yang digunakan dan masing-masing persamaan mempunyai jumlah variabel berbeda. Untuk lebih jelas maka lihat contoh dibawah ini.


Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Ubah bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut hingga menjadi bentuk eselon (Forward Elimination)

• Baris ke2 dikurangi baris ke1

• Baris ke3 dikurangi 2 kali baris ke1

• Baris ke3 ditambah 3 kali baris ke2

• Baris ke3 dibagi dengan 3 (bentuk eselon baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6

y + z = 3

z = 3

Kemudian lakukan Back Substitution maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x + 2y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3


Pokok Bahasan :

• Sistem persamaan linier dan matrix; Eliminasi gauss, Gauss Jordan, Matrix
  dan operasinya, Invers matrix .
• Determinan; fungsi determinan, evaluasi determinan dengan reduksi baris, properti fungsi determinan, kofaktor, aturan cramer
• Vektor pada ruang 2 dan ruang 3; pengenalan vektor, vektor normal, vektor
  aritmatik, dot product, proyeksi, cross product, garis dan bidang pada ruang 3
• Ruang vektor Euclidean; ruang n euclidean, transformasi linier dari Rn ke Rm. Ruang vektor; ruang vektor real, sub ruang vektor, bebas linier, basis dan dimensi, ruang baris, ruang kolom dan ruang null, rank dan nullity
• Ruang inner product; inner product, sudut dan Ortogonaliti pada inner product, Basis
  Orthonormal, Gram Schmidt. Eigenvalue dan eigenvektor; pengenalan
  eigenvalue dan eigenvektor, diagonalization, ortogonal diagonalization
• Transformasi linier lanjut; pengenalan transformasi linier lanjut, Kernel dan range, Invers transformasi linier, Similarity
• Aplikasi aljabar linier; Program linier geometric, Interpolasi kubik spline, Markov chains, Teori graf, Grafika computer, Kriptografi, genetik.
 

Gilak!!!!!!!!

Banyak juga ternyata materinya. Maksudnya apaan tu --". Dijalani dulu sajalah. We won't know until we try :)

Reference :
- http://if.its.ac.id/v2/wp-content/uploads/2011/02/Katalog_Teknik_Informatika2009-2010.pdf
- http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination